李表面（Lie theory），定名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李，是数学和物理学中一个极其弥留且庸碌左右的表面，其根柢认识是李群和李代数。这个表面提供了一个遍及的框架，用于描画对称性和一语气变换，因此在许多科学界限中皆有着庸碌的左右，包括量子力学、粒子物理、晶体学和机器东说念主学。本文咱们将长远探讨李表面的基本认识。
当你在谷歌中搜索“李表面”，会出现这张图片，
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它使得该表面看起来比骨子上更难。干系词，若是你练习复数，那么你也曾碰到了一个例子，那即是那些于模为1的复数，
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你的本能反映可能是将这些数字视为 e^(i θ)。
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但若是你更长远地想考，骨子上是在这个复数圆上施加了一个坐标系统，例如，咱们不错说这极少是 e^(i * 0.7π)，
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这个圆是所谓的李群（Lie group）的一个例子，将在稍后解释，但一般来说，它不错是更高维的，更难以可视化的。李表面的精髓是，即使在这些复杂的情况下，也要尽量施加一个坐标系统，使其更容易处分。
让咱们稍许详备地进展李表面，从李群初始。李群同期是两个东西，它是一个群，但亦然一个流形。
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李群-群
最初让咱们了解一下什么是群，因为它是一个更容易的认识。
群基本上是一组闲静某些属性的对象，使它们看起来具有对称性。咱们期望对称性闲静的第一个属性是封锁性。以正三角形的对称性G为例，咱们将 h 示意为沿斜轴的反射对称性，g 示意为沿垂直轴的另一个反射对称性，那么将 g · h 界说为函数组合，即最初作念 h，然后作念 g。事实证明，g 和 h 组合是一个旋转。遵循不弥留-弥留的是遵循仍然是一个对称性，因此它仍然在 G 中。
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但为了使这个公理配置，咱们需要对每对 g 和 h 皆证明这极少。你不错逐一考据这个情况，但凭据界说，对称性是任何保捏对象不变的变换。是以若是 g 和 h 是对称的，它们保捏对象不变，那么天然，先作念 h 然后作念 g 也会保捏对象不变，因此亦然一个对称性。
对称性还罢免一些其他属性，如“吞并律”：
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如存在一个恒等元：
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终末，对称性皆有一个逆：
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若是一组对象闲静这4个要求，它就组成一个群。一个对象的对称性天然地酿成一个群。若是给定一组数字或矩阵，比如一初始的复数单元圆，查验该聚积是否闲静这些属性是很有必要的。在这种情况下，你只需要使用模数相乘，以致不需要用欧拉公式，
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天然，不单是是这个圆酿成了一个群。旋转矩阵的聚积，正交或酉矩阵皆是群，
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若是你对群不太练习，我激烈忽视你对这些聚积的群公理进行补习。你所需要的只是转置、伴温柔行列式的一些其他属性，
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总之，群只是李表面的一部分。李群亦然流形，那么什么是流形呢？让咱们通过一个例子来贯穿：复数的圆。
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这个圆是流形，道理是在它上头的每极少，其邻域基本上看起来像一条线，只是变形了。让咱们放大这极少的邻域。
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在圆的情况下，这是一个弧，不错平滑地变形为直线。
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但一样弥留的是，这条线也不错平滑地变回弧。这种双向变形即是我所说的“看起来像一条线”。天然，不单是是圆上的这一特定点。每个点皆有这么的属性，即邻域看起来像一条线。这即是咱们称圆为一维流形（1-dimensional manifold）的原因。
然则还有更高维的流形，意旨是一样的。
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只是任何点的邻域不再看起来像一条线，而是（在这个圆环的情况下）看起来像一个平面。是以，一个圆环的名义是一个二维流形。一个更奇特的例子是SO（3），三维的旋转。SO（3）看起来像什么呢？
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关于三维旋转，最初要指明旋转轴，然后是绕这个轴的旋转角度θ。咱们不错将这个特定的旋转示意为流形上的一个点，球是一个实心球。球上的相应点将沿着旋转轴的某处。轴上的位置取决于绕这个轴的旋转角度。例如，这个轴上的点，从中心朝上的θ单元，对应于沿着这个轴的θ旋转。至于标的，使用右手规矩。是以这个点在中心上方，意味着使用右手规矩的逆时针旋转。终末，咱们将旋转角放胆为π，是以若是你的旋转角进取π，那么就朝相悖的标的旋转。
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这即是咱们不错从几何上想考SO（3）的形态，但这是一个高稀罕怪的几何图形，因为这两个相对的点骨子上代表了交流的旋转：
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毕竟，它们皆代表了180度的顺时针或逆时针旋转。你不错把这两个点看作是一个重迭的门，当你朝一个标的旋转得越来越多，何况进取了π，那么立即通过门持续朝上行进。
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但这不单是是一双点，球的名义上的每一个处所皆是一个门，只是旋转轴不同。
若是听起来很奇怪，那如实是奇怪的，然则，这仍然是一个流形，更具体地说是一个三维流形，这不错在更高的维度中正确地可视化，但必须在5维空间中才气作念到这极少。总的来说，一个n维流形意味着悉数的邻域皆“看起来像”n维空间。
李群同期是群和流形的举座想想意味着两件事：最初，咱们不消把这些SO(n)和SU(n)隧说念地看作一堆矩阵，咱们不错几何地想考它们，尽管在更高维的旋转中，它变得不那么可视化。其次，在这两者的交叉口，咱们不错使用群论的器具和微分几何的器具，这是流形的究诘，来究诘它们。李最初将李群视为流形。
李代数
地球的名义是流形的另一个例子，固然地球的名义是逶迤的，然则咱们不错通过施加一个坐标系统（例如经纬度系统）来制作一张平面的舆图。这么，咱们就不错将复杂的逶迤空间滚动为更容易处分的平面空间。这是一个将复杂的几何对象（如地球名义）简化为咱们不错更容易处分的对象（如舆图）的例子。
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李的想想是访佛的。李群是复杂的曲面流形，一样，咱们要建造一个坐标系统，一个平的空间来处分它，阿谁平的空间即是李代数。让咱们用更多的细节证明这极少。在李群是复数圆的情况下，坐标系统由1（恒等元）处的切线组成。
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它的责任道理是将切线向量与圆上的点相对应，这短长常天然的。若是向量的长度是θ，那么咱们将它对应到李群上1处距离θ的一个点。
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骨子上，这个向量不错被觉得是iθ，
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这是因为复数不仅是平面上的极少，也不错被觉得是从原点到该点的一个向量，
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是以朝上的向量对应于纯虚数，
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资讯分享因此，这个朝上的切线向量不错被觉得是iθ。然则咱们说，作为一个坐标系统，切线向量对应于距离恒等元θ的一个点，你知说念这个点是什么吗？这恰是
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这也与更一般的李群和李代数的相称相似。
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李代数作为坐标系统的责任道理是使切空间（即1处的切线）上的切线向量“包装”在李群上，然后取端点。
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这种将切线向量对应到流形上的点的“包装”动作称为指数映射（exponential map）。在这个特定的情况下，向量iθ被包装到李群上的e^(iθ)，是以它骨子上是一个指数映射。
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但这种指数映射的认识适用于一般的流形，而不单是是李群。
换句话说，即使关于一般的流形，将切空间上的切线向量映射到流形上的点的动作仍然被称为指数映射，守望情况下，咱们但愿只使用平的空间，因为它比逶迤的对象更容易处分。
这个指数映射，或者骨子上，其逆映射，或对数映射，将把流形上的极少复原到平坦空间上的一个切线向量。是以，这是贯穿李群的第一步。把它作为流形，咱们想要把李群复原为李代数，通过对数映射，将恒等元处的切空间复原。
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然则，若是咱们把李群作为群，会怎样呢？群公理告诉咱们群元素和点乘应闲静哪些要求，
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是以咱们良善这么一个群的乘法是怎样运算的。
例如来说，有一个李群，其恒等元用红点示意，对应的李代数，是恒等元处的切空间。中间的红点对应于李群上的恒等元。
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让咱们商量一双元素g，h，以及它们的乘积g·h。咱们不错用对数映射将悉数这些点复原到平坦空间上的切线向量，
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该映射将悉数这些点复原到平坦空间上的切线向量。当今，若是唯有对应于g和h的这些切线向量，能否不参考李群，就能详情对应于g·h的切线向量呢？
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一个纯真是估计可能是
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但这些g和h是矩阵，它们的乘法形态与数字不同。
干系词，骨子上存在一个公式。若是用X示意log g，用Y示意log h，用Z示意log (g·h)，那么Z不错作为无尽级数
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这看起来令东说念主生畏，但不错瓦解为两个爽气的操作：最初，加法或减法。这恰是那些切线向量的加法或减法。其次，这些方括号，被称为李括号（Lie brackets）。咫尺，你不错将它们视为将两个切线向量变为另一个切线向量的爽气但特定的操作。因此，若是咱们还知说念李括号，那么就知说念对应于g·h的切线向量。这个公式，称为Baker-Campbell-Hausdorff公式，简称BCH公式，使咱们冒昧十足在李代数上复制群乘法。是以，咱们不错只在李代数上运算，而不是在逶迤的空间上。
当今，在李群上，群公理告诉咱们乘法应该闲静什么，而在李代数上，李括号也会相应地闲静一些性质。
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咫尺，这些性质的细节不弥留，但要知说念，这些李括号的性质频繁来自于李群中的乘法性质。识别这些性质是十足消灭李群，只关注李代数的另一步。因此，尽管咱们原来想究诘李群（因为它是一个更通用的结构），但咱们不错转而究诘李代数，因为李代数包含了李群的悉数弥留信息，何况它是一个更爽气的结构。如今，大大皆教科书将李代数界说为一个具有闲静悉数这些性质的李括号的向量空间，但应值得注主见是，这些李群是这些性质的弥留根源。
李表面图示
这引出这个被觉得代表李表面的图示。
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菠菜信誉线上平台这是什么呢？若是你传奇过怪兽群（monster group），它们认识是相似的。关于怪兽群，咱们想要商量有限群，有限聚积G，
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这么不错界说闲静这些公理的乘法。这些有限群不错瓦解为不同的构建块，被称为爽气群（simple groups）。
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这些爽气群是有限群的原子，数学家想要对这些构建块进行分类。有许多不同的机制不错产生无尽多的爽气群。以相似形态产生的构建块被归为一个无尽族（infinite families）。然则还有许多可能性，被称为“稀薄”群（sporadic groups）。有26或27个，取决于你是否想将其中一个（构建块）盘算推算在那些无限族中。
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趁便说一句，这个构建块被称为蒂茨群（Tis group），以法国数学家雅克·蒂茨定名。
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这有点离题，因为这些稀薄群的明星是怪兽群，到咫尺为止是最大的、最复杂的稀薄群（这26、27个稀薄群中的）。这个分类与对李代数的分类访佛。访佛于群的界说，李代数也有一个闲静某些性质的李括号。只用这些性质，咱们想要对李代数的构建块进行分类。访佛于群的情况，这些爽气李代数有无尽的族。这不像群，碰巧唯有4个，别离标为A_n, B_n, C_n和D_n。除了这些无限族外，还有碰巧5个被遗漏的，被称为“例外”的李代数，别离标为E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。
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欧博会员注册E_8是这五个中最复杂的，因此它在某种经由上是李代数中的怪兽群。这个特定的图片是E_8的图示描画：
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是以，即使想要究诘李群，咱们也要转而究诘李代数，因为悉数信息皆被保留了北京赛车色碟，何况它们更容易究诘。
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